Kann ich die eingehenden und gesendeten Mails auf meiner Festplatte steichern

Hmm, Du kannst einen Mailclient nehmen. Dann sind Deine Mails aufnder Festplatte gespeichert.Wenn Du aus dem Webclient meinst, dann geht das nur mit einzelnen Mails (rechte Maustaste & speichern oder so...)

1. Ordner mit den zu speichernden Mails oeffnen.
2. Alle Mails markieren ("Alle waehlen").
3. Dann oben im Menue auf das Symbol mit den drei horizontalen Strichen ("Weitere Aktionen").
4. Jetzt "Als Datei speichern" waehlen.

Es gibt externe Programme, die man - unabhängig von seinem Mailclient - auf seinem Computer installieren kann und die alle E-Mails herunterladen, archivieren und durchsuchbar machen.

Ein bekanntes E-Mail-Archivprogramm für Windows ist MailStore Home (kostenlos), läuft auch auf einem USB-Stick und ich habe gute Erfahrungen damit gemacht. Auf dem Mac gibt es Horcrux (14,99 Euro, 30-Tage-Demo), das habe ich jedoch nicht ganz so gut zum Laufen bekommen.

Horcrux hab ich auch am laufen aber das ist mehr als unsicher für mich. Die Backups sind immer rot und zeigen fehler an. Aber seit der Einführung der neuem Möglichkeit auf die Backups von MBO zuzugreifen werde ich Horcrux löschen. Das brauch ich nicht mehr. Da vertrau ich MBO genug.